Трисекция угла — Википедия. Что такое Трисекция угла

Трисекция угла


Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.

Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.

Невозможность построения была доказана Ванцелем в 1837 году. Несмотря на это, в прессе[1][2][3] и даже в некоторых научных журналах[4] время от времени публикуются некоторые неверные способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой.

Невозможность построения

П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что трисекция угла разрешима только тогда, когда уравнение

разрешимо в квадратных радикалах.

Например,

  • Трисекция осуществима для углов вида если целое число не делится на 3.
  • Трисекция острого угла прямоугольного треугольника с целыми сторонами осуществима тогда и только тогда, когда гипотенуза является кубом целого числа[5].

Построения с помощью дополнительных средств

Трисекция угла при помощи невсиса

Рис. 1. Трисекция угла с помощью невсиса
Рис. 2. Трисекция угла (доказательство)

Следующее построение с помощью невсиса предложено Архимедом.

Предположим, что имеется угол (рис. 1). Необходимо построить угол , величина которого втрое меньше данного: .

Построим окружность произвольного радиуса с центром в точке . Пусть стороны угла пересекаются с окружностью в точках и . Продолжим сторону исходного угла. Возьмём линейку невсиса, отложив на ней диастему , и используя прямую в качестве направляющей, точку в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок . Получим угол , равный одной трети исходного угла .

Доказательство

Рассмотрим треугольник (рис. 2). Так как , то треугольник равнобедренный, и углы при его основании равны: . Угол как внешний угол треугольника равен .

Треугольник также равнобедренный, углы при его основании равны , а угол при вершине . С другой стороны, . Следовательно,, а значит, .

См. также

Примечания

  1. С. Кудряшов. Задача Евклида // Газета «Труд». — 2002. — № 073.
  2. Н. А. Доллежаль. Трисекция угла // Наука и жизнь. — 1998. — № 3.
  3. К. Попов. Трисекция угла // Юный Техник. — 1994. — № 12. — С. 62-64.
  4. Жарков Вячеслав Сергеевич. Деление угла на три равные части при помощи циркуля и линейки (Трисекция угла). // SCI-ARTICLE. — 2016. — № 31.
  5. Chang, Wen D.; Gordon, Russell A. Trisecting angles in Pythagorean triangles. Amer. Math. Monthly 121 (2014), no. 7, 625–631.
  6. Три знаменитые задачи древности, 1963, с. 33—45..

Литература



Что такое Wiki.cologne Вики является главным информационным ресурсом в интернете. Она открыта для любого пользователя. Вики это библиотека, которая является общественной и многоязычной.

Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License.

Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. wiki.cologne является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).

E-mail: admin@wiki.cologne