Размерность Лебега — Википедия. Что такое Размерность Лебега

Размерность Лебега


Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства обычно обозначается .

Определение

Для метрических пространств

Для компактного метрического пространства размерность Лебега определяется как наименьшее целое число , обладающее тем свойством, что при любом существует конечное открытое -покрытие , имеющее кратность ;

При этом

  • -покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр , а
  • кратностью конечного покрытия пространства называется наибольшее такое целое число , что существует точка пространства , содержащаяся в элементах данного покрытия.

Для топологических пространств

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства размерностью Лебега называется наименьшее целое число такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности .

При этом покрытие называется вписанным в покрытие , если каждый элемент покрытия является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия .

Примеры

Свойства

  • Неравенство
выполняется при одном из следующих требований на топологические пространства и :
  • метризуемость
  • компактность
  • локальная компактность и паракомпактность
Существуют примеры пар пространств для которых это неравенство нарушается;[1] это неравенство может также оказаться строгим, например для некоторых пар поверхностей Понтрягина.
  • Размерность Лебега метрического пространства не превосходит его размерности Хаусдорфа.
  • (Теорема Остранда о крашенной размерности.) Нормальное пространство имеет размерность тогда и только тогда, когда для любого локально конечного открытого покрытия пространства существует вписанное покрытие , которое состоит из подсемейств таких, что каждое подсемейство состоит из непересекающиеся между собой множеств.

История

Впервые введена Анри Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность -мерного куба равна . Лёйтзен Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта (для класса метрических компактов) дал Павел Самуилович Урысон.

Примечания

  1. Wage, Michael L. The dimension of product spaces // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.. — 1978. — Т. 75, № 10. — С. 4671–4672.

Литература

  • Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973

Что такое Wiki.cologne Вики является главным информационным ресурсом в интернете. Она открыта для любого пользователя. Вики это библиотека, которая является общественной и многоязычной.

Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License.

Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. wiki.cologne является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).

E-mail: admin@wiki.cologne