Длина кривой — Википедия. Что такое Длина кривой

Длина кривой


Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Приближение длины дуги эллипса с помощью ломаных

Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) — числовая характеристика протяжённости этой кривой[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление).

Определение

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных.

Например, для непрерывной кривой в трёхмерном пространстве, заданной параметрически:

(1)
Приближение кривой ломаными

где , всевозможные разбиения интервала значений параметра на отрезков: . Соединение точек кривой отрезками прямых даёт ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных.

Длина дуги циклоиды (s) в зависимости от её параметра (θ)

Связанные определения

  • Всякая кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая. (Снежинка Коха — классический пример неспрямляемой кривой.)
  • Параметризация кривой длиной дуги называется естественной.
  • Кривая есть частный случай функции из отрезка в пространство. Вариация функции, определяемая в математическом анализе, является обобщением длины кривой (см. ниже).

Свойства

(2)
Формула подразумевает, что и длина отсчитывается в сторону возрастания параметра t. Если рассматриваются два разных направления отсчёта длины от точки кривой, то часто удобно приписать дуге на одном из этих направлений знак минус.
В n-мерном случае вместо (2) имеем аналогичную формулу:
.
Можно также вычислить длину кривой через криволинейный интеграл I рода:
  • Если плоская кривая задана уравнением то её длина равна:
В полярных координатах
  • Формула Крофтона позволяет вычислить длину кривой на плоскости как интеграл числа её пересечений с прямыми по естественной мере на пространстве прямых.

История

Задача спрямления оказалась гораздо сложнее, чем вычисление площади, и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено для окружности. Декарт даже высказывал мнение, что «отношение между прямыми и кривыми неизвестно и, даже, думаю, не может быть познано людьми»[2][3].

Первым достижением стало спрямление параболы Нейла (1657), выполненное Ферма и самим Нейлом. Вскоре была найдена длина арки циклоиды (Рен, Гюйгенс). Джеймс Грегори (ещё до открытия математического анализа) создал общую теорию нахождения длины дуги, которая немедленно была использована для различных кривых.

Вариации и обобщения

Риманово пространство

В n-мерном римановом пространстве с координатами кривая задаётся параметрическими уравнениями:

, ((3))

Длина кривой в римановом пространстве задаётся формулой:

,

где : метрический тензор. Пример: кривая на поверхности в .

Общее метрическое пространство

В более общем случае произвольного метрического пространства длиной кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой определяется согласно формуле:

где верхняя грань берётся, как и ранее, по всем разбиениям отрезка .

См. также

Примечания

  1. Длина // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
  2. Ренэ Декарт. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта / Перевод, примечания и статьи А. П. Юшкевича. — М.—Л.: Гостехиздат, 1938. — С. 49. — 297 с. — (Классики естествознания).
  3. Оригинал цитаты на французском языке: «la proportion, qui est entre les droites & les courbes n'estant pas connuë, & mesme ie croy ne le pouuant estre par les hommes», см. Descartes, René. Discours de la méthode.... — 1637. — С. 340.

Литература


Что такое Wiki.cologne Вики является главным информационным ресурсом в интернете. Она открыта для любого пользователя. Вики это библиотека, которая является общественной и многоязычной.

Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License.

Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. wiki.cologne является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).

E-mail: admin@wiki.cologne