Брахистохрона — Википедия. Что такое Брахистохрона

Брахистохрона


Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Брахистохро́на (от греч. βράχιστος «кратчайший» + χρόνος «время») — кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в июне 1696 года Иоганном Бернулли следующим образом:

Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки и , лежащих в одной вертикальной плоскости ( ниже ), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, сонаправленной отрицательной полуоси , материальная точка из достигнет за кратчайшее время.

Решением задачи о брахистохроне является дуга циклоиды с горизонтальным основанием, точка возврата которой находится в точке , или иными словами, имеющая вертикальную касательную в точке .

Примечательно, что время спуска до нижней точки не зависит от расположения начальной точки на дуге циклоиды.

Решение задачи о брахистохроне

Движение тел по различным траекториям. Красная линия — брахистохрона

На статью Иоганна Бернулли откликнулись Исаак Ньютон, Яков Бернулли, Г. В. Лейбниц, Г. Ф. Лопиталь, Э. В. Чирнхаус. Все они, как и сам Иоганн Бернулли решили задачу разными способами. Метод решения, полученного 26 января 1697 года Исааком Ньютоном, лёг в основу важнейшей области естествознания — вариационного исчисления.

Пусть имеются две произвольные точки, расположенные на разных ординатах. Далее пусть произвольная материальная точка M скатывается от точки A к точке B под действием только силы тяжести (силы трения отсутствуют). Найдём такую траекторию, при которой время скатывания будет минимально.

Направим ось ординат вниз и сопоставим начальной точке нулевое значение ординаты. Запишем закон сохранения энергии для материальной точки M:

где

 — масса тела,
 — ускорение свободного падения,
 — ордината,
 — скорость движения тела.

Получаем:

откуда можно найти значение проекции скорости на ось :

Поскольку время на спуск равняется , то задача сводится к минимизации значения интеграла

Литература

Ссылки


Что такое Wiki.cologne Вики является главным информационным ресурсом в интернете. Она открыта для любого пользователя. Вики это библиотека, которая является общественной и многоязычной.

Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License.

Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. wiki.cologne является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).

E-mail: admin@wiki.cologne